If $y o x=y^{2x}$ for all positive integers, then $(3\square 4)\square 2 = ?$

এখানে একটি নতুন গাণিতিক প্রক্রিয়া (operation) সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

প্রদত্ত প্রক্রিয়াটি হলো:

\(y \text{ o } x = y^{2x}\)

আমাদের \((3 \text{ o } 4) \text{ o } 2\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে বন্ধনীর ভেতরের অংশটি সমাধান করি:

১. \(3 \text{ o } 4\)

এখানে, \(y = 3\) এবং \(x = 4\)।

সংজ্ঞায়িত প্রক্রিয়া অনুযায়ী, \(3 \text{ o } 4 = 3^{2 \times 4}\)

\(= 3^8\)

এখন, এই ফলাফলটি মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন করি:

\((3 \text{ o } 4) \text{ o } 2 = 3^8 \text{ o } 2\)

২. \(3^8 \text{ o } 2\)

এখানে, \(y = 3^8\) এবং \(x = 2\)।

সংজ্ঞায়িত প্রক্রিয়া অনুযায়ী, \(3^8 \text{ o } 2 = (3^8)^{2 \times 2}\)

\(= (3^8)^4\)

সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, \((a^m)^n = a^{m \times n}\)

অতএব, \((3^8)^4 = 3^{8 \times 4}\)

\(= 3^{32}\)

সুতরাং, \((3 \text{ o } 4) \text{ o } 2 = 3^{32}\)